Jak na věc


dělení se zbytkem pod sebou

Věta o dělení polynomů se zbytkem

    10 Derivace polynomu Definice. Nechť R je okruh, f = a n x n + + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 polynom z R[x]. Derivací polynomu f rozumíme polynom f = na n x n a 2 x + a 1. Poznámka. V tělese reálných čísel máme pojem limity, který v obecném okruhu není k dispozici. Proto jsme pojem derivace polynomu nemohli definovat limitou, ale jen uvedeným vzorcem, v němž například na n znamená n-násobek prvku a n (tedy součet n kopií prvku a n v grupě (R, +)). Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], c R. Pak platí (f + g) = f + g, (f g) = f g + f g, ((x c) n ) = n(x c) n 1. Označení. Druhou derivaci polynomu f značíme f = (f ), třetí f = (f ) atd. Obecně pro k N pak k-tou derivaci polynomu f značíme f (k) = (f (k 1) ). Je tedy f (1) = f, f (2) = f, atd.
    Ukázky rychlého zadání výrazů:    8+5   ---   0,252+(-1,79)   ---   (-15)*21   ---   16,6/3   ---   (-8,0000)/13,2  apod.
    Celý týden jsme procvičovali písemné dělení, prováděli zkoušku. Přes podzimní prázdniny nutné ještě procvičovat s dětmi, kterým to dělá problém. Řešili jsme slovní úlohy z učebnice na str.25, 26. Napsali jsme menší písemné opakování.


Ověřeno školáky i rodiči. MATEMATIKA bude do 2. pracovního dne na Vašem stole. 

    19 Polynomy nad Z - důkaz Eisensteinova kriteria Důkaz sporem. Předpokládejme, že naopak f není ireducibilní nad Q, podle Gaussovy věty není ireducibilní ani nad Z. Z předpokladů st(f ) = n > 0 a f je nekonstantní. Existují tedy nekonstantní polynomy g, h Z[x] tak, že f = g h. Opět užijme homomorfismus okruhů α : Z[x] Z p [x] určený předpisem α(b n x n + b n 1 x n b 1 x + b 0 ) = = [b n ] p x n + [b n 1 ] p x n [b 1 ] p x + [b 0 ] p pro libovolné b 0, b 1,..., b n Z. Pak z prvního předpokladu plyne, že α(g) α(h) = α(g h) = α(f ) = [a n ] p x n je asociované s polynomem x n, neboť p a n. Přitom Z p [x] je okruh s jednoznačným rozkladem, proto α(g) i α(h) jsou asociované s mocninami polynomu x. A protože jsou nekonstantní, musí být absolutní členy obou polynomů g i h dělitelné p. Jejich součin a 0 je tedy dělitelný p 2, což je spor.
    9 Počet kořenů polynomu nad oborem integrity Věta. Nechť R je obor integrity, f R[x], f 0. Polynom f má nejvýše st(f ) kořenů v R, počítáno i s násobností. Přesněji: součet násobností všech kořenů polynomu f v R je menší nebo roven st(f ). Důkaz. Nechť c 1,..., c s jsou různé kořeny polynomu f v R, nechť k i je násobnost kořene c i. Pak (x c i ) k i f v R[x]. Označme K podílové těleso oboru integrity R, tedy R je podokruhem tělesa K. Pak (x c i ) k i f v K[x]. Přitom x c 1,..., x c s jsou různé normované ireducibilní polynomy v K[x]. Rozložíme-li f na součin vedoucího koeficientu f a normovaných ireducibilních polynomů v K[x], z jednoznačnosti rozkladu plyne, že se mezi nimi polynom x c i objeví alespoň k i -krát pro každé i = 1,..., s. Proto s i=1 (x c i) k i f. Protože K je těleso, platí s i=1 k i st(f ). Důsledek. Nechť R je konečné těleso, pak je jeho multiplikativní grupa (R, ) cyklická. Důkaz. Důsledek. Pro libovolné prvočíslo p je grupa (Z p, ) cyklická.


Sčítání, odečítání a násobení pod sebou + dělení se zbytkem: Kalkulátor

    4 Největší společný dělitel v okruhu polynomů nad tělesem Věta. Nechť R je těleso. Pak libovolné dva nenulové polynomy f, g R[x] mají v R[x] největší společný dělitel d R[x], který je možné spočítat pomocí Euklidova algoritmu (jako poslední nenulový zbytek v prováděných děleních) a vyjádřit jej Bezoutovou rovností, tj. existují a, b R[x] tak, že d = a f + b g. Definice. Nenulový polynom se nazývá normovaný, je-li jeho vedoucí koeficient roven 1. Poznámka. Jeli R těleso, je R[x] obor integrity a platí (R[x]) = R = R. Je tedy každý nenulový polynom z R[x] asociovaný s právě jedním normovaným. Definice. Nechť R je těleso, f, g R[x] nenulové polynomy. Označme (f, g) normovaný největší společný dělitel polynomů f a g. O polynomech f a g řekneme, že jsou nesoudělné, je-li (f, g) = 1. Věta. Nechť R je těleso, f, g, h R[x] nenulové polynomy. Jestliže f g h a současně (f, g) = 1, pak f h. Důkaz.
    8 Násobnost kořene polynomu Věta. Nechť R je komutativní okruh, f R[x], c R. Pak platí: c je kořenem polynomu f, právě když (x c) f v okruhu R[x]. Důkaz. Definice. Nechť R je komutativní okruh, f R[x], f 0, c R, f (c) = 0. Přirozené číslo k se nazývá násobnost kořene c polynomu f, jestliže (x c) k f a (x c) k+1 f v okruhu R[x]. Kořeny násobnosti 1 se nazývají jednoduché. Poznámka. Podmínka (x c) k f znamená, že existuje g R[x] tak, že (x c) k g = f. Protože (x c) k je normovaný polynom stupně k, platí k + st(g) = st(f ). Přitom g 0, tedy st(g) 0, odkud plyne k st(f ). Proto nenulový polynom nemůže být dělitelný každou mocninou polynomu x c a předchozí definice jednoznačně určuje násobnost každého kořene libovolného nenulového polynomu nad komutativním okruhem. Příklad. Kvadratický polynom x 2 [1] 8 Z 8 [x] má čtyři jednoduché kořeny [1] 8, [ 1] 8, [3] 8, [ 3] 8. V okruhu Z 8 [x] není rozkládání na součin normovaných lineárních činitelů jednoznačné.


Copyright © Dossani milenium group 2000 - 2019
cache: 0024:00:00