Jak na věc


dělení se zbytkem pod sebou

Ověřeno školáky i rodiči. MATEMATIKA bude do 2. pracovního dne na Vašem stole. 

    11 Souvislost derivace polynomu s násobností kořenů Věta. Nechť R je komutativní okruh, f R[x], c R, k N. Jestliže c je k-násobným kořenem polynomu f, pak je c kořenem polynomů f, f,..., f (k 1). Důkaz. Věta. Nechť R je těleso, f R[x], c R, k N. Předpokládejme, že char R = 0 nebo char R > k. Pak c je k-násobným kořenem polynomu f, právě když je c kořenem polynomů f, f,..., f (k 1) a není kořenem polynomu f (k). Příklad. Předpoklad o charakteristice je nezbytný. Například pro R = Z 2 polynom f = x 2 Z 2 [x] má kořen [0] 2 násobnosti 2. Přitom f = 2[1] 2 x = 0, a tedy f (k) = 0 pro každé k N. Poznámka. Jev pozorovaný v předchozím příkladě platí obecněji: je-li char R = p > 0, pak pro každé f R[x] platí f (p) = 0.
    Nové učivo - písemné násobení. Počítali jsme slovní úlohy, kde dokážeme využít písemné násobení pod sebou. Za Dú mají děti procvičovat dělení se zbytkem v sešitě Počítáme zpaměti až po str.12, sloupeček 46.
    10 Derivace polynomu Definice. Nechť R je okruh, f = a n x n + + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 polynom z R[x]. Derivací polynomu f rozumíme polynom f = na n x n a 2 x + a 1. Poznámka. V tělese reálných čísel máme pojem limity, který v obecném okruhu není k dispozici. Proto jsme pojem derivace polynomu nemohli definovat limitou, ale jen uvedeným vzorcem, v němž například na n znamená n-násobek prvku a n (tedy součet n kopií prvku a n v grupě (R, +)). Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], c R. Pak platí (f + g) = f + g, (f g) = f g + f g, ((x c) n ) = n(x c) n 1. Označení. Druhou derivaci polynomu f značíme f = (f ), třetí f = (f ) atd. Obecně pro k N pak k-tou derivaci polynomu f značíme f (k) = (f (k 1) ). Je tedy f (1) = f, f (2) = f, atd.


Sčítání, odečítání a násobení pod sebou + dělení se zbytkem: Kalkulátor

    Numerace čísel do 10 000, zápis čísel, orientace na číselné ose, rozvinutý zápis čísel. Pomocí kalkulaček jsme zpracovávali údaje nedávného sběru papíru, vyhodnotili jsme nejlepší třídy a zjistili jsme nejen odhadem ale i výpočtem kolik  kg nasbírala celá škola.
    14 Polynomy nad R Věta. Je-li komplexní číslo c kořenem polynomu f R[x], pak i číslo c komplexně sdružené s číslem c je kořenem polynomu f. Věta. Pro libovolný polynom f R[x] platí: f je ireducibilní nad R, právě když je f lineární anebo je f = ax 2 + bx + c kvadratický se záporným diskriminantem b 2 4ac < 0. Část důkazu. Důsledek. Každý nekonstantní normovaný polynom f R[x] lze psát jako součin normovaných polynomů, které jsou lineární anebo kvadratické se záporným diskriminantem. Tento zápis je jednoznačný až na pořadí činitelů.


Věta o dělení polynomů se zbytkem

    4 Největší společný dělitel v okruhu polynomů nad tělesem Věta. Nechť R je těleso. Pak libovolné dva nenulové polynomy f, g R[x] mají v R[x] největší společný dělitel d R[x], který je možné spočítat pomocí Euklidova algoritmu (jako poslední nenulový zbytek v prováděných děleních) a vyjádřit jej Bezoutovou rovností, tj. existují a, b R[x] tak, že d = a f + b g. Definice. Nenulový polynom se nazývá normovaný, je-li jeho vedoucí koeficient roven 1. Poznámka. Jeli R těleso, je R[x] obor integrity a platí (R[x]) = R = R. Je tedy každý nenulový polynom z R[x] asociovaný s právě jedním normovaným. Definice. Nechť R je těleso, f, g R[x] nenulové polynomy. Označme (f, g) normovaný největší společný dělitel polynomů f a g. O polynomech f a g řekneme, že jsou nesoudělné, je-li (f, g) = 1. Věta. Nechť R je těleso, f, g, h R[x] nenulové polynomy. Jestliže f g h a současně (f, g) = 1, pak f h. Důkaz.
    2 Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g) a platí f = g q + r. Důkaz jednoznačnosti q, r. Předpokládejme, že q, r, q, r R[x], přičemž st(r) < st(g) a st( r) < st(g), splňují f = g q + r = g q + r. Pak g ( q q) = r r. Vedoucí koeficient polynomu g není dělitel nuly, tedy st(g) + st( q q) = st(g ( q q)) = st(r r) < st(g). Pak tedy st( q q) < 0, tj. q = q, odkud r = r.
    Geometrie - vzájemná poloha dvou přímek v rovině. Měření úseček. Rýsovali jsme do nových sešitů G - budeme potřebovat vždy v pátek sešit, podložku do sešitu, pravítko s ryskou, dlouhé pravítko, kružítko.


Copyright © Dossani milenium group 2000 - 2020
cache: 0000:00:00